Výpisky:

Soustavy rovnic

Soustavou rovnic nazýváme strukturu dvou či více rovnic o dvou či více neznámých. Pro řešení soustavy rovnic existuje několik metod, které v obtížnějších případech i kombinujeme. Soustavu rovnic můžeme využít při řešení slovních úloh. Typicky u takových, kde hledáme více neznámých najednou.

Řešení následující soustavy dvěma metodami:

$\begin{align*} 3x + y & = 10 \\[1.5em] 2x - 3y & = 3 \end{align*}$

a) Dosazovací metoda

Dosazovací metoda probíhá vyjádřením libovolné neznámé a dosazením takového výrazu do druhé rovnice odkud nebylo vyjadřováno. Nejvýhodnější je přitom vyjadřovat neznámou, která není násobená číslem. V uvedeném příkladu tedy vyjádříme neznámou y z první rovnice.

$\begin{align*} 3x + y & = 10 \quad \Rightarrow \quad y = \color{#FF0C52}{10 - 3x} \\[1.5em] 2x - 3y & = 3 \quad \Rightarrow \quad 2x - 3 \cdot \color{#FF0C52}{(10 - 3x)} = 3 \end{align*}$

Vyřešíme vzniklou rovnici. Nyní se jedná o lineární rovnici s jednou neznámou.

$\begin{align*} 2x - 3 \cdot \color{#FF0C52}{(10 - 3x)} & = 3 \\[1.5em] 2x - 30 + 9x & = 3 \\[1.5em] 11x & = 33 \\[1.5em] x & = 3 \end{align*}$

Získanou hodnotu dosadíme do vytvořeného vyjádření na začátku.

$y = 10 - 3x = 10 - 3 \cdot 3 = 1$

Konečné řešení zapisujeme do hranatých závorek.

$[3; 1]$

Pořadí hodnot zapisujeme v pořadí x, y. Obecně se jedná o abecední pořadí. Není-li pořadí zřejmé z kontextu, můžeme využít přesnější zápis:

$[x, y] = [3; 1]$

b) Sčítací metoda

Tato metoda spočívá ve vynásobení či vydělení jedné nebo více rovnic takovým číslem, aby po sečtení rovnic došlo k vynulování jedné neznámé.

$\begin{align*} 3x + y & = 10 \quad / \cdot 3 \\ 2x - 3y & = 3 \\[1.5em] 9x + 3y & = 30 \\ 2x - 3y & = 3 \\[1.5em] 11x & = 33 \\[1.5em] x & = 3 \end{align*}$

Druhou neznámou vyřešíme dosazením hodnoty první neznámé do libovolné původní rovnice.

$3x + y = 10 \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot 3 + y = 10 \quad \Rightarrow \quad y = 1$

Opět zapíšeme výsledek do hranatých závorek:

$[3; 1]$

Shrnutí

Slovní úlohy se dvěma (či více) neznámými informacemi můžeme často vyřešit úvahou, lineární rovnicí či soustavou.

Při volbě metody řešení soustavy je vhodné se řídit podle složitosti zadané soustavy. Dosazovací metoda je rychlá v případech kdy soustava obsahuje neznámou nenásobenou číslem. V takovém případně je vhodné ji vyjádřit.

Při volbě sčítací metody musíme předpokládat kroky dopředu a vhodně vynásobit rovnice před sečtením, tak aby se po sečtení vynulovala jedna z neznámých.